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函数与基本初等函数之对数与对数函数

 6.对数与对数函数

•课标解读:
  内容标准:理解对数的概念及运算性质;掌握对数函数的概念、图象、性质。
  行为目标:1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;
2. 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点;
3.知道对数函数是一类重要的函数模型;
4.了解指数函数  与对数函数  互为反函数(  )。
•考纲精析:考纲要求:1. 理解对数的概念及其运算性质;
                      2.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步
理解对数函数的概念,能画出具体对数函数的图象,探索能理解其单调性与特殊点。
            命题热点:1.高考考查定义与图象以及他们的主要性质,同时考查数学思想方法,以考查分类讨论及运算能力为主。
                      2.结合其他章节知识考查对数、对数函数的图象与性质。常与导数结合考查单调性、极值、最值及某些参数的范围问题,以选择题、填空题为主,也用综合性较强的解答题出现。
•学情分析:重点:对数的定义及对数的运算性质;对数函数的图象和性质。
            难点:换底公式及对数式变形; 和 时对数函数的不同性质。
            关键:充分利用指对互化;利用图象记忆。
•高考真题:
 1.(四川理13)计算 _______.
【答案】-20
【解析】 .
2.(天津文6)设 , , ,则(   ).
A.        B.  
C.        D.  
【答案】D
【解析】因为 , , ,
所以 ,
所以 ,故选D.
3(2010广东文数)函数 的定义域是
A.           B.          C.        D.  
解: ,得 ,选B.

4.(江苏2)函数 的单调增区间是__________
【答案】 
【解析】 在  在 大于零,且增.
本题主要考查函数的概念,基本性质,指数与对数,对数函数图象和性质,容易题
•基础过关
1.(安徽文5)若点(a,b)在  图像上, ,则下列点也在此图像上的是
(A)( ,b)  (B)  (10a,1 b)    (C) ( ,b+1)       (D)(a2,2b)
【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算,考查对数函数的图像与对应点的关系.
【解析】由题意 , ,即 也在函数  图像上.
2.(重庆理5)下列区间中,函数 = 在其上为增函数的是                      
(A)(-        (B)      (C)     (D) 
【答案】D
3. (重庆文6)设 , , ,则 , , 的大小关系是
(A)           (B) 
(C)           (D) 
【答案】B

(2010湖南文数)8.函数y=ax2+ bx与y=   (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是D

4(2010浙江理数)设函数的集合
 ,
平面上点的集合
 ,
则在同一直角坐标系中, 中函数 的图象恰好经过 中两个点的函数的个数是
(A)4              (B)6          (C)8            (D)10
解析:当a=0,b=0;a=0,b=1;a= ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意,故答案选B,本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点,对数学素养有较高要求,体现了对能力的考察,属中档题
5(2010全国卷2理数)函数 的反函数是
(A)         (B) 
(C)        (D) 
【答案】D
【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得 ,即 ,又 ;
 ∴在反函数中 ,故选D.


6(2010陕西文数)下列四类函数中,个有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是             [C]
 (A)幂函数   (B)对数函数  (C)指数函数  (D)余弦函数
解析:本题考查幂的运算性质 
 
7(2010辽宁文数)设 ,且 ,则 
(A)       (B)10       (C)20        (D)100
解析:选A. 又

8(2010浙江文数)已知函数  若   =
(A)0    (B)1    (C)2    (D)3
解析: +1=2,故 =1,选B,本题主要考察了对数函数概念及其运算性质,属容易题
9(2010四川理数)2log510+log50.25=w_w_w.k*s 5*u.c o*m
(A)0        (B)1         (C) 2         (D)4w_w w. k#s5_u.c o*m
解析:2log510+log50.25
=log5100+log50.25
=log525
=2
答案:C
10(2010天津文数)设 
(A)a<c<b     (B) )b<c<a   (C) )a<b<c    (D) )b<a<c
【答案】D
【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法,属于容易题。
因为 
【温馨提示】比较对数值的大小时,通常利用0,1进行,本题也可以利用对数函数的图像进行比较。
11(2010全国卷1文数)已知函数 .若 且, ,则 的取值范围是
(A)      (B) (C)     (D)  
C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式求得a+b= ,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.
【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或 ,所以a+b= 
又0<a<b,所以0<a<1<b,令  由“对勾”函数的性质知函数 在 (0,1)上为减函数,所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得: ,利用线性规划得: ,化为求 的取值范围问题, , 过点 时z最小为2,∴(C)  
12(2010全国卷1理数)已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
(A)    (B)    (C)   (D) 
 
13(2010四川文数)函数y=log2x的图象大致是高^考#资*源^网
    
(A)               (B)             (C)             (D)
解析:本题考查对数函数的图象和基本性质.
答案:C

14(2010湖北文数)已知函数 ,则 
A.4    B.      C.-4    D- 
【答案】B
【解析】根据分段函数可得 ,则 ,
所以B正确.

15. (重庆文15)若实数 , , 满足 , ,则 的最大值是_____________.
【答案】 
16(上海文3)若函数 的反函数为 ,则 _____________
【答案】 
17.(上海理1)函数 的反函数为 _____________. 
【答案】 
18(2010上海文数)函数 的反函数的图像与 轴的交点坐标是     (0,2)     。
解析:考查反函数相关概念、性质
法一:函数 的反函数为 ,另x=0,有y=-2
法二:函数 图像与x轴交点为(-2,0),利用对称性可知,函数 的反函数的图像与 轴的交点为(0,-2)
19(2010广东理数)函数 =lg( -2)的定义域是          .
(1,+∞) .∵ ,∴ .[来源:高考
20(2010湖北文数)求函数 的定义域
(  ,1)
21(2010天津理数)若函数f(x)= ,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想,属于中等题。
由分段函数的表达式知,需要对a的正负进行分类讨论。
  
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于0,同事要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。

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